Jumat, 26 November 2010

Analisa Variansi (ANOVA)

Analisa Ragam
adalah suatu metode untuk menguraikan keragaman total data menjadi komponen-komponen yang mengukur berbagai sumber keragaman

1. Anova satu Arah

Menguraikan keragaman total data menjadi :
keragaman yang disebabkan oleh perlakuan
keragaman yang disebabkan oleh galat percobaan

Hipotesis pengujian :
Ho = 1 = 2 = …= k
Ha = sekurang-kurangnya dua nilai tengah tidak sama

Nilai kritis :
F > f  , v1 , v2

Nilai Uji Statistik :
Sumber Variasi Jumlah Kuadrat (SS) df Kuadrat Rata-rata (MS) Ratio F
Diantara kriteria treatment (A) SSA =
k Ti.2 T..2
∑ -
i=1 ni N k - 1
MSA = SSA
k - 1
F = MSA
MSE
Kesalahan Sampling (E) SSE = SST - SSA N – k MSE = SSE
N - k
Total (T) SST =
k n T..2
∑ ∑ x2ij -
i = 1 j=1 N N - 1
Catatan : i : indeks untuk kolom (criteria treatmen A) sebanyak k
ni : jumlah sample per kolom i
N : jumlah seluruh sample
Ti . : total per kolom i (per treatmen A)
T.. : total seluruh sample

Kesimpulan : Jika F hitung lebih besar dari F tabel Ho ditolak

2. Anova Dua Arah

a. Anova Dua Arah tanpa Interaksi
Menguraikan keragaman total data menjadi :
keragaman yang disebabkan oleh perlakuan A dan perlakuan B
keragaman yang disebabkan oleh galat percobaan
Hipotesis pengujian :
Hipotesis nol bahwa r nilai tengah baris  r adalah sama
H’o = 1 = 2 = …= r
H’a = sekurang-kurangnya satu nilai  tidak sama
Hipotesis nol bahwa k nilai tengah kolom  k adalah sama
H”o = 1 = 2 = …= k
H”a = sekurang-kurangnya satu nilai  tidak sama
Nilai kritis :
F > f  , v1 , v2




Nilai Uji Statistik :

Sumber Variasi Jumlah Kuadrat (SS) df Kuadrat Rata-rata (MS) Ratio F
Diantara kriteria treatment I (kolom ) (A) SSA =
k Ti .2 T..2
∑ -
i=1 ni N k - 1
MSA = SSA
k – 1
F = MSA
MSE

Diantara kriteria treatment II (baris ) (B) SSB =
r T.j2 T..2
∑ -
j=1 nj N r - 1
MSB = SSB
r – 1
F = MSB
MSE

Kesalahan Sampling (E) SSE = SST – SSA - SSB (k-1)(r-1)
MSE = SSE
(k-1)(r-1)

Total (T) SST =
k r T..2
∑ ∑ xij2 -
i = 1 j=1 N N - 1
Catatan : i : indeks untuk kolom (criteria treatmen A) sebanyak k
j : indeks untuk baris (criteria treatmen B) sebanyak r
ni : jumlah sample per kolom i
nj : jumlah sample per baris j
N : jumlah seluruh sample
Ti . : total per kolom i (per treatmen A)
T..j : total per baris j (per treatmen B)
T.. : total seluruh sample

Kesimpulan : Jika F hitung lebih besar dari F tabel Ho ditolak

b. Anova Dua Arah dengan Interaksi

Menguraikan keragaman total data menjadi :
keragaman yang disebabkan oleh perlakuan A dan perlakuan B
keragaman yang disebabkan oleh interaksi antara perlakuan A dan perlakuan B
keragaman yang disebabkan oleh galat percobaan

Hipotesis pengujian :
Hipotesis nol bahwa r nilai tengah baris  r adalah sama
H’o = 1 = 2 = …= r
H’a = sekurang-kurangnya satu nilai  tidak sama
Hipotesis nol bahwa c nilai tengah kolom  c adalah sama
H”o = 1 = 2 = …= k
H”a = sekurang-kurangnya satu nilai  tidak sama
Hipotesis nol interaksi  rk
H’”o = ()11 = ()12 = …= ()rc
H’”a = sekurang-kurangnya satu nilai ()rc tidak sama

Nilai kritis :
F > f  , v1 , v2









Nilai Uji Statistik :

Sumber Variasi Jumlah Kuadrat (SS) df Kuadrat Rata-rata (MS) Ratio F
Diantara kriteria treatment I (kolom ) (A) c Ti .2 T..2
SSA = ∑ -
i=1 ni N c - 1 MSA =
SSA
c - 1 F = MSA
MSE

Diantara kriteria treatment II (baris ) (B) r T.j2 T..2
SSB = ∑ -
j=1 nj N r - 1 MSB =
SSB
r - 1
F =
MSB
MSE

Interaksi diantara kelompok I dan II SSI = n 2
c r ∑ xk T..2
∑ ∑ k=1 - SSA - SSB -
i=1 j=1 nij N (c-1)(r-1) MSI =
SSI
(c-1)(r-1) F = MSI
MSE
Kesalahan Sampling (E) SSE = SST – SSA – SSB – SSI c.r.(n-1) MSE =
SSE
c.r.(n-1)

Total (T) c r n T..2
SST = ∑ ∑ ∑ x2ijk -
i=1 j=1 k=1 N N - 1
Catatan : i : indeks untuk kolom (criteria treatmen A) sebanyak c
j : indeks untuk baris (criteria treatmen B) sebanyak r
k : indeks untuk replikasi per sel sebanyak n
ni : jumlah sample per kolom i
nj : jumlah sample per baris j
nij: : jumlah sample per sel ij
N : jumlah seluruh sample
Ti . : total per kolom i (per treatmen A)
T..j : total per baris j (per treatmen B)
T.. : total seluruh sample

Kesimpulan : Jika F hitung lebih besar dari F tabel Ho ditolak

Soal-soal

1. Tiga kelas statistika diberikan oleh tiga dosen. Nilai akhirnya dicatat sebagai berikut :
Dosen
A B C
73
89
82
43
80
73
66
60
45
93
36
77
88
78
48
91
51
85
72
77
31
78
62
76
96
80
56 68
79
56
91
71
71
87
41
59
68
53
79
15
Apakah ada selisih yang nyata diantara rata-rata nilai yang diberikan oleh ketiga dosen tersebut ? Gunakan taraf nyata 0,05

2. Dalam sebuah penelitian tentang masa pakai (dalam bulan) empat merek disket hasilnya adalah sebagai berikut :


Merek Disket
A B C D
20
23
25
26
16
20
19
20
19 20
27
26
28
26 29
21
28
19
Apakah keempat disket tersebut berdaya tahan sama ? Gunakan taraf uji 0,05

3. Data berikut adalah nilai akhir 5 mahasiswa dalam mata kuliah matematika, bahasa Inggris, bahasa Perancis, dan Biologi :
Mahasiswa Mata Kuliah
Matematika Bahasa Inggris Bahasa Perancis Biologi
1
2
3
4
5 68
83
72
55
92 57
94
81
73
68 73
91
63
77
75 61
86
59
66
87
Dengan taraf uji 0.05 uji hipotesis bahwa :
a. Keempat mata kuliah mempunyai tingkat kesulitan yang sama
b. Kelimat mahasiswa mempunyai tingkat kemampuan yang sama

4. Data berikut menyatakan banyaknya kata per menit hasil ketikan 4 sekretaris dengan menggunakan 4 mesin ketik yang berbeda :

Sekretaris Mesin ketik
Royal IBM Underwood Olivetti
Keti
Didi
Randi
Kusna 78
57
69
71 62
49
78
66 71
62
72
59 77
60
83
67
Dengan taraf uji 0.05 uji hipotesis bahwa :
a. Keempat sekretaris mempunyai tingkat kecepatan yang sama
b. Jenis mesin ketik tidak berpengaruh pada kecepatan mengetik

5. Nilai Statistika dari 3 kelas untuk 4 tahun yang berbeda sebagai berikut :
Tahun Kelas
A B C
I
II
III
IV 65 ; 66 ; 70 ; 72
68 ; 69 ; 71 ; 72
75 ; 74 ; 73 ; 70
67 ; 68 ; 66 ; 67 70 ; 71 ; 73 ; 75
80 ; 82 ; 84 ; 79
75 ; 74 ; 75 ; 76
79 ; 78 ; 77 ; 76 68 ; 66 ; 70 ; 72
75 ; 71 ; 73 ; 75
70 ; 68 ; 69 ; 71
80 ; 79 ; 78 ; 77
Dengan taraf uji 0.05 uji hipotesis bahwa :
a. Nilai tidak berbeda berdasarkan kelas
b. Nilai tidak berbeda berdasarkan tahun
c. Nilai berbeda berdasarkan kelas dan tahun













Kunci Jawaban Soal Latihan ANOVA

1. Diketahui : Nilai akhir statistika diberikan oleh tiga dosen :

Ditanyakan : Apakah ada selisih yang nyata diantara rata-rata nilai yang diberikan oleh ketiga dosen tersebut ? Gunakan taraf nyata 0,05
Jawaban :

Dosen (i)
A B C
73
89
82
43
80
73
66
60
45
93
36
77
88
78
48
91
51
85
72
77
31
78
62
76
96
80
56 68
79
56
91
71
71
87
41
59
68
53
79
15
ni = 12 15 13 N = 40
xi . = 817 1069 838 ∑ xi. = T = 2724
(xi .)2/ ni = 55624.0833 76184.067 54018.769 ∑(xi .)2/ ni = 130202.836
ni 3 ni
∑ x i j2 = 59407 80769 58994 ∑ ∑ x i j2 = 199170 j=1 i=1 j=1

Ho = 1 = 2 = 3
Ha = minimal ada dua nilai tengah yang berbeda
Nilai kritis : F > F 0.05, 2,37 yaitu F > 3.23.

Sumber Variasi Jumlah Kuadrat (SS) df Kuadrat Rata-rata (MS) Ratio F
Diantara kriteria treatment (A) SSA =
k Ti.2 T..2
∑ -
i=1 ni N
=130202.836 -(2724)2
40
= …………. k – 1
3 - 1
MSA = SSA
k – 1
=
F = MSA
MSE
Kesalahan Sampling (E) SSE = SST – SSA

= ………. - ……….. N – k
40 - 3 MSE = SSE
N - k
= ………
Total (T) SST =
k n T..2
∑ ∑ x2ij -
i = 1 j=1 N
=199170 – (2724)2
40
= ……… N – 1
40 - 1

Keputusan : F hitung …… F tabel
Kesimpulan : ……………


2. Diketahui : masa pakai (dalam bulan) empat merek disket:

Ditanyakan : Apakah keempat disket tersebut berdaya tahan sama ? Gunakan taraf uji 0,05

Jawaban :

Merek Disket
A B C D
20
23
25
26
16
20
19
20
19 20
27
26
28
26 29
21
28
19

ni = 4 5 5 4 N = 18
xi . = 94 94 109 97 ∑ xi. = T = 394
(xi .)2/ ni = 2209 17672 2376.2 2352.25 ∑(xi .)2/ ni = 24609.45
ni 3 ni
∑ x i j2 = 2230 1778 2869 2427 ∑ ∑ x i j2 = 9304
j=1 i=1 j=1

Ho = 1 = 2 = 3= 4
Ha = minimal ada dua nilai tengah yang berbeda
Nilai kritis : F > F 0.05, 3,14 yaitu F > 3.34.

Sumber Variasi Jumlah Kuadrat (SS) df Kuadrat Rata-rata (MS) Ratio F
Diantara kriteria treatment (A) SSA =
k Ti.2 T..2
∑ -
i=1 ni N
= 24609.45 - (394)2
18
= …………. k – 1
4 - 1
MSA = SSA
k – 1
=
F = MSA
MSE
Kesalahan Sampling (E) SSE = SST – SSA

= ………. - ……….. N – k
18 – 4 MSE = SSE
N - k
= ………
Total (T) SST =
k n T..2
∑ ∑ x2ij -
i = 1 j=1 N
=9304 – (394)2
18
= ……… N – 1
18 - 1

Keputusan : F hitung …… F tabel
Kesimpulan : ……………

Tidak ada komentar:

Posting Komentar